Vẽ đường tròn tâm O, các dây cung AB // CD.

Cần chứng minh 

Cách 1:

Kẻ bán kính MN // AB // CD

MN // AB

+ TH1: AB và CD cùng nằm trong một nửa đường tròn.

.

+ TH2: AB và CD thuộc hai nửa đường tròn khác nhau.

Cách 2:

Kẻ OH ⊥ AB; OK ⊥ CD (H ∈ AB, K ∈ CD)

Vì AB // CD ⇒ O, H, K thẳng hàng.

ΔOAB có OA = OB

⇒ ΔOAB cân tại O

⇒ đường cao OH đồng thời là đường phân giác

⇒ 

Chứng minh tương tự:

Vẽ đường tròn tâm O, các dây cung AB // CD.

Cần chứng minh  AC ^ = BD ^

Cách 1:

Kẻ bán kính MN // AB // CD

MN // AB

+ TH1: AB và CD cùng nằm trong một nửa đường tròn.

.

+ TH2: AB và CD thuộc hai nửa đường tròn khác nhau.

Cách 2:

Kẻ OH ⊥ AB; OK ⊥ CD (H ∈ AB, K ∈ CD)

Vì AB // CD ⇒ O, H, K thẳng hàng.

ΔOAB có OA = OB

⇒ ΔOAB cân tại O

⇒ đường cao OH đồng thời là đường phân giác

⇒ 

Chứng minh tương tự:

Kiến thức áp dụng

+ Trong một đường tròn, hai dây bằng nhau căng hai cung bằng nhau.

+ Trong cùng một đường tròn, hai cung được gọi là bằng nhau nếu chúng có số đo bằng nhau, tức là góc ở tâm chắn hai cung đó bằng nhau.

Giả sử AB và CD là các dây song song của đường tròn (O).

Kẻ OI ⊥ AB (I ∈ AB) và OK ⊥ CD (K∈CD).

Do AB //CD nên I,O,K thẳng hàng.

Do các tamgiác OAB, OCD là các tam giác cân đỉnh O nên các đường cao kẻ từ đỉnh đồng thời là phân giác.

Vì vậy ta có: Góc ∠O₁ = ∠O₂, ∠O₃ = ∠O₄

Giả sử AB nằm ngoài góc COD, ta có: ∠AOC = 1800 – (∠O₁ + ∠O₃) = 1800 -(∠O₂ + ∠O₄) = ∠BOD

Suy ra cung AC= cung BD.

Nghĩa là hai cung bị chắn giữa hai dây song song thì bằng nhau. Các trường hợp khác ta chứng minh tương tự.

Bài này có 2 TH, ta phải xét cả 2 TH (vì ko có ghi rõ đề):

TH 1:

Xét

AOB có:

OA = OB (cùng bán kính)

Do đó:

AOB cân tại A

Ta có:

(2 góc so le trong do AB//MN)

( // )

mà

(cmt)

(1)

CM tương tự, ta được:

(2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat{AOC}=\widehat{BOD}\)

\(\widebat{AC}=\widebat{BD}\)

TH 2 :

CM y như câu a) (mà chỉ thay đổi cách CM \(\widehat{AOC}=\widehat{BOD}\) )

c/m nó là chữ nhật

Gọi đường tròn Ở, 2 dây AB ss với CD 

xet Tu giac ABCD co AD=AO+OD

CB=CO+OB

mà CO=OB=OA=OD

=> tu giac ABCD là hinh chu nhat

=>AOB=COD

=>cung CD=cungAB

Trường hợp 1: Tâm O ở giữa của hai dây

Kẻ OM ⊥ AB, suy ra OM ⊥ CD tại N

Ta chứng minh được  A O M ^ = B O M ^ (1)

Tương tự  C O N ^ = D O N ^ (2)

Từ (1), (2) =>  A O C ^ = B O C ^ => A C ⏜ = B D ⏜

Trường hợp 2: Tâm O nằm ngoài khoảng hai dây

Kẻ OM  ⊥ AB suy ra OM  ⊥ CD tại N

Tương tự  A O C ^ = B O C ^ =>  A C ⏜ = B D ⏜

Ta có các tam giác vuông AOS; HOS, BOS có chung cạnh huyền OS nên S, A, H, O, B nội tiếp đường tròn đường kính OS.

Khi đó ta có :

\(\widehat{ASH}=\widehat{ABH}\) (Hai góc nội tiếp cùng chắn cung AH)

Mà \(\widehat{ASH}=\widehat{FDH}\)  (Hai góc đồng vị)

\(\Rightarrow\widehat{ABH}=\widehat{FDH}\)

Suy ra tứ giác HFDO nội tiếp.

Từ đó ta có \(\widehat{FHD}=\widehat{ABD}\)(Hai góc nội tiếp)

Mà \(\widehat{ABD}=\widehat{ACD}\) (Hai góc nội tiếp)

Nên \(\widehat{FHD}=\widehat{ACD}\)

Chúng lại ở vị trí đồng vị nên HF // AC.

(A) Sai. Góc nội tiếp là góc có đỉnh nằm trên đường tròn, hai cạnh chứa hai dây cung của đường tròn đó.

(B) Sai. Trong một đường tròn, hai góc nội tiếp bằng nhau thì cùng chắn một cung hoặc chắn hai cung bằng nhau.

(C) Sai. Trong một đường tròn, hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau thì bằng nhau.

(D) Sai. Trong một đường tròn, số đo của góc nội tiếp bằng một nửa số đo của góc ở tâm cùng chắn một cung.

(E) Đúng. Trong một đường tròn, góc nội tiếp có số đo bằng nửa số đo của góc ở tâm cùng chắn một cung.

Kẻ OH ⊥ AB, OK ⊥ CD

Ta có: AB = CD (gt)

Suy ra : OH = OK (hai dây bằng nhau cách đều tâm)

Vậy OI là tia phân giác của góc BID (tính chất đường phân giác)